最近の研究から

カゴメ格子は，三角形が頂点を共有して結合した二次元のネットワークであり（図１），相互作用が競合する幾何学フラストレーションの典型的な舞台となっている．例えば、カゴメ格子上で最近接相互作用する古典ハイゼンベルグ反強磁性体では，格子の強いフラストレーションにより基底状態が大規模に縮退しており，その磁気的な秩序化には多くの興味が持たれてきた．近年，このようなカゴメ格子反強磁性体と良く近似できる物質として，ハーバートスミス石，ボルボース石，ベシニエ石（ZnCu₃(OH)₆Cl₂，Cu₃V₂O₇(OH)₂， BaCu₃V₂O₈(OH)₂）といった銅鉱物が注目され，実験的に盛んに研究されている[1]．しかし，これらのうち，ボルボース石，ベシニエ石では，カゴメ格子はわずかに歪んでおり，この格子歪みが磁気秩序化に与える影響についての理論的な解析が期待されていた．

我々は，格子の歪みによるスピン間の交換相互作用の変化を考慮し，図１の様に，カゴメ格子上の一軸方向の交換相互作用J₂がその他の相互作用J₁と異なる，歪んだカゴメ格子上の古典ハイゼンベルグスピン系の秩序化を，モンテカルロシミュレーションにより解析した．その結果，歪みの効果により，歪みの無いカゴメ格子では見られなかった新しい一次相転移が，交換相互作用 J₁と比べて0.1％以下のごく低温で生じることが明らかとなった[2]．この一次相転移には，スピンが作るベクトル・カイラリティのドメイン壁や，Z₂渦と呼ばれる特殊な渦励起といった，トポロジカルな励起が関係していることが示唆されており，フラストレート磁性体における新奇な秩序化機構が起源となっている可能性がある．

（by 大久保毅）

[参考文献]

[1] P. Mendels and F. Bert, J. Phys. Soc. Jpn. 79, 011001 (2010), Z. Hiroi, et al, J. Phys.:Conf. Ser. 320, 012003 (2011), Y. Okamoto, J. Phys. Soc. Jpn. 78, 033701 (2009).等

[2] H. Masuda, T. Okubo, and H. Kawamura, Phys. Rev. Lett 109, 057201 (2012).

近年,レーザーを用いた人工格子（光格子）にトラップされた冷却原子系に関する実験が著しく発展しています.有効的にボーズ・ハバードモデルというシンプルなモデルで記述されるこの系は,システムパラメータの制御性も高く,理論的に予言された新奇物理現象を実現するための格好の舞台です.そのような物理現象として実現が期待されているものの一つが,超流動と固体秩序の共存状態である超固体です.

超固体の出現するメカニズムとしては,整合(コメンシュレート)なfilling factor(粒子数密度)をもつ完全結晶に,余剰粒子やホールといった欠陥をドーピングし,それらが固体秩序中で非局在化（ボーズ・アインシュタイン凝縮）することによって現れるシナリオ(Andreev and Lifshitzシナリオ)が知られています[1].結果として,そのような超固体は非整合なfilling factorにおいて実現されることになります.しかし,私たちは,正方格子および立方格子上の最近接斥力相互作用のあるソフトコア・ボーズ・ハバードモデルにおいて,整合なfilling factor \(1/2\)でも超固体が現れることを,filling factor を\(1/2\)に固定したカノニカル・アンサンブルに対する量子モンテカルロ計算を行うことによって直接的に示しました[2,3].このような超固体は,固体中に量子揺らぎによって局所的に作られた余剰粒子・ホールペアが非束縛化されることで自発的に欠陥を生み出し,ドーピングなしで実現される新しいタイプの超固体-コメンシュレート超固体-です.

(by 大越孝洋)

参考文献

[1] A. F. Andreev and I. M. Lifshitz, Sov. Phys. JETP 29, 1107 (1969).
[2] T. Ohgoe, T. Suzuki, and N. Kawashima, Phys. Rev. Lett. 108, 185302 (2012).
[3] T. Ohgoe, T. Suzuki, and N. Kawashima, Phys. Rev. B 86, 054520 (2012).

近年、量子多体系におけるエンタングルメントの定量的な研究が量子情報、物性・統計物理学の垣根を越えて盛んに行われている。 特に gapless の一次元系に関しては、エンタングルメント・エントロピーと呼ばれる指標から、 対応する共形場理論の情報が読み取れることが知られている。 また Haldane 系のように gap のある一次元系については、エンタングルメントエントロピーの飽和値と端状態の関係が、 厳密対角化や AKLT 模型を用いた解析を通じて明らかにされている。 本研究では、この端状態による解釈が二次元以上の場合にも成立するか否かを、一般のグラフ上の valence-bond-solid 状態 (VBS 状態)を用いて調べた。 二次元以上の場合には、一次元系の解析において有効である転送行列法などが使えなくなるという技術的な困難があるが、 我々はモンテカルロ法と厳密対角化を組み合わせた新しい手法を開発し、その手法を適用して正方格子および蜂の巣格子上の VBS状態でのエンタングルメントエントロピーを計算した。

その結果、二次元以上の場合には一次元と異なり、十分大きな部分系においても 「(エンタングルメントエントロピー)=log(端状態の数)」という関係が成立せず有意な補正が生じることが明らかになった。 また正方形から成る ladder 上および、六角形から成る ladder 上におけるエンタングルメントエントロピーの値を厳密に解析した。

（by 田中宗）

[参考文献]

[1] Hosho Katsura, Naoki Kawashima, Anatol N. Kirillov, Vladimir E. Korepin and Shu Tanaka, J. Phys. A: Math. Theor. 43 (2010) 255303.

フラストレーションのある磁性体は、統計物理学的観点からも、あるいは物性科学的観点からも非常に興味深い物質であり、 これまで非常に多くの研究が理論・実験両面からなされてきた。 理論的には、フラストレーションの効果により新奇な秩序構造が出現する点が、フラストレーション物性の重要な点の１つである。 近年、中辻知研究室（東京大学物性研究所）において、三角格子反強磁性体の新物質 Rb₄Mn(MoO₄)₃ が合成された（図１）。この物質は磁性を担うイオンがMn2+であり、S=5/2のスピンが三角格子のネットワークを形成している物質である。 帯磁率測定から、この物質は小さい容易軸異方性があることが実験的に確認されている。

そこで我々は、容易軸異方性を持つ三角格子反強磁性体のモンテカルロシミュレーションを行い、 磁場の印加方向が容易軸に平行な場合、垂直な場合それぞれについて相図を得た（図２）。 ここで我々が導入したモデルは、最近接サイトに働く反強磁性的相互作用および、 １イオン異方性項の２つのパラメータのみから成る非常にシンプルなモデルである。 実験により得られている、ゼロ磁場中での２つの相転移温度の情報を元に、我々は容易軸異方性の強さを決定した。 その値を用いて磁場中における帯磁率ならびに比熱の振る舞いを検討したところ、定性的だけではなく、 定量的にも高い精度で実験の値と一致することがわかった。

（by 田中宗）

[参考文献]

[1] Rieko Ishii, Shu Tanaka, Keisuke Onuma, Yusuke Nambu, Masashi Tokunaga, Toshiro Sakakibara, Naoki Kawashima, Yoshiteru Maeno, Collin Broholm, Dixie P. Gautreaux, Julia Y. Chan, and Satoru Nakatsuji, Europhysics Letters 94, 17001 (2011).

XY モデルやハイゼンベルクモデルなど連続的な自由度を持つスピン系では、2次元空間で長距離秩序が実現されないことが知られている。ただし、長距離秩序が実現されないのは系の相互作用が短距離であることを仮定した場合であって、相互作用が長距離であるときには長距離秩序を示すこともある。長距離相互作用があるスピン系の研究は、スピンの数の増大とともに計算量が急激に増大することから、これまであまりなされてこなかった。しかし最近提案されたオーダーNモンテカルロ法[1]により短距離相互作用のときと変わらない計算量で長距離相互作用するスピン系の計算が可能となった。

そこで我々はオーダーNモンテカルロ法を用いて2次元格子上のハイゼンベルク双極子の計算を行った。扱った格子は三角格子、正方格子、ハニカム格子、カゴメ格子の4種類で、それぞれの格子における相転移について調べた。それぞれの秩序相は右図の通りで、三角格子では強磁性、正方格子では反強磁性、ハニカム格子では渦構造、カゴメ格子では部分的な強磁性秩序が見られた。それぞれの相転移は、ハニカム格子でコスタリッツ・サウレス転移が、それ以外の格子では2次相転移が観測された。相転移点近傍における磁気異方性を計算したところ、正方格子と三角格子では、エントロピーの効果によって特定の向きが安定化される「無秩序による秩序」と呼ばれる現象によって秩序を形成していることが分かった。一方、ハニカム格子では相転移温度以下においても磁気異方性はなく、スピンが”丸い”まま秩序を形成していることが明らかとなった。またカゴメ格子では、相転移温度以下においても秩序化しないスピンが存在していることから、系は強磁性を示しつつも無数の状態を取りうる残留エントロピーを有している可能性が示された[2]。

（by 富田裕介）

[参考文献]

[1] K. Fukui and S. Todo: “Order-N cluster Monte Carlo method for spin systems with long-range interactions”, J. Comput. Phys. 228 (2009) 2629.

[2] Yusuke Tomita: “Monte Carlo Study of Two-Dimensional Heisenberg Dipolar Lattices”, J. Phys. Soc. Jpn 78 (2009) 114004.

BaCuSi₂O₆ [S. E. Sebastian, et al.: Nature 441 (2006) 617]は擬2次元のスピンダイマー反強磁性体である。この物質の磁場下における低エネルギー励起を記述するハードコアボーズ模型ないしXY模型を考えると，これには面間相互作用が相殺する形の特徴的なフラストレーションがある。しかしながら揺らぎを考慮に入れるとこの相殺は不完全になり，この系の磁場中秩序相 （マグノンBEC相）への有限温度相転移は３次元的なものとなる。

我々は，相殺しきれない面間相互作用（＝「有効面間相互作用」）の形を，有限温度相転移の有効模型となる古典系においてスピン波近似で議論した。その結果，1) 隣接面間には双二次相互作用があるが対称性のために双一次相互作用はないこと，2) 一方次近接面間には強磁性的な双一次相互作用があることが明らかになった。このことから予想される秩序状態の模式図を図1に示す。最近接面間の反強磁性モーメントが平行か反平行かのいずれかが自発的に選ばれ（Z2対称性の破れ），その配置で反強磁性の長距離秩序がおこる（O(2)対称性の破れ）。図2は実際にシミュレーションで確かめられたこの状態のスナップショットである。

このような複合的な対称性の破れの構造を持つことは相転移の普遍性クラスにどのように影響してくるのか。これについて調べるため，我々はLandau-Ginzburg-Wilson型の有効ハミルトニアンを解析し，数値計算による臨界指数の評価と比較した。その結果，転移点最近傍において，予想されていた3次元XYタイプの臨界現象から何か別のものへのクロスオーバーがあらわれることが分かった。

（by 紙屋佳知）

参考文献

Y. K., Naoki Kawashima, and Cristian D. Batista:  “Finite-Temperature Transition in the Spin-Dimer Antiferromagnet BaCuSi₂O₆” J. Phys. Soc. Jpn. 78 (2009) 094008

フラストレート磁性体の中には、系がいくつかの副格子によって構成され、それらが互いにフラストレートしたカップリングによって相互作用するという構造のものがある。正方格子J1-J2モデルや、面間がフラストレートしているbct格子上のスピン系などがこれに該当する。副格子内カップリングに比べて副格子間カップリングが小さい場合を考えると、各副格子のオーダーパラメターの間に双一次有効相互作用が存在しないことが系の対称性から示される。副格子間の有効相互作用は双二次相互作用からはじまり、これはスピンの四重極モーメントをそろえるはたらきをする。この副格子間の双二次相互作用により、基底状態はスピン回転対称性に加え、イジング的なZ2対称性が破れた状態となる。

我々は、BaCuSi2O6との関連 [1]から特にXYスピン系の場合に注目して、このような付随的なZ2対称性の破れを伴う相転移現象について調べた [2]。具体的には副格子間相互作用（∝λ）をゼロとしたモデル（その相転移はもちろんXYユニバーサリティクラスに属する）の近傍のくり込み群の流れを、モンテカルロ法によって数値的に解析した。上に示した図は得られた数値くり込み群の流れである。この図はゼロ・スケーリング次元のパラメターのサイズ依存性を示しており、二次相転移点では流れは非自明な固定点に収束するべきものである。我々の計算によって得られた流れは、XYユニバーサリティクラスの分離固定点（図中大きい丸印）から系統的に遠ざかり、途中にセパラトリックスや安定固定点をもつことなく、一次相転移が別途確かめられている領域（λ=-2、挿入図のダブルピーク構造のエネルギーヒストグラムを見よ）へと至る構造をもつことが分かる。このことは、双二次の副格子間相互作用が分離固定点においてrelevantであって（これはスケーリング解析からも示すことができる）、その結果引き起こされる相転移のクロスオーバーが一次転移に帰着する、ということを意味している。

BaCuSi2O6においては一次転移を示唆する実験報告はなく、比熱のふるまいなどはXYモデルでよくフィットされる。このことはこの物質が非常に擬二次元性の強い系で、その結果、面間相互作用の2次の摂動であらわれる副格子間双二次相互作用が非常に小さいものとなるため、相転移の最近傍であらわれる非常に弱い一次相転移へのクロスオーバーをとらえることが、通常の実験精度では非常に難しいためであろうと考えられる。

（by 紙屋佳知）

References

[1] Y. Kamiya, N. Kawashima, and C. D. Batista, J. Phys. Soc. Jpn. 78, 094008 (2009).
[2] Y. Kamiya, N. Kawashima, and C. D. Batista, Phys. Rev. B 82, 054426 (2010).

光学格子中にトラップされたボーズ粒子の有効モデルとしてボーズハバードモデルの研究が盛んに行われている． 先駆的な実験的研究では, 粒子数が2 × 10⁵個程度，格子サイズが65³程度のものを取り扱っている． 我々は向きつきループアルゴリズムの改良を行い，実験系と同規模の粒子数（1.8 × 10⁵）及びサイト数 （64³） のシミュレーションを実装した． この系には調和型のトラップポテンシャルが存在し， これによりトラップの中心から離れるに従って，各サイトのボゾンの平均占有数は減少していく． また低温でt/Uが小さい場合を考えると，図１のような“ウェディングケーキ構造”と呼ばれる複数のプラトーを有する構造が実現される． このプラトーは平均占有数が整数のところに存在し，モット絶縁体的な領域が存在していると考えられる． またプラトー間には平均占有数が非整数になっている領域が存在し，位相がそろった超流動的な領域が存在していると考えられる． この超流動的な領域は図２に示すようにモット絶縁体的な領域で隔てられている． 本研究ではこの様にモット絶縁体的領域に隔てられた複数の超流動的領域間の位相の相関に着目して 計算を行った． 比較的大きな系のシミュレーションの結果，超流動的領域間の相関と同一領域内の相関はほぼ同じ温度で出現することが分かった．

（by 加藤康之）

参考文献

Yasuyuki Kato and Naoki Kawashima, “Quantum Monte Carlo method for the Bose-Hubbard model with harmonic confining potential” Phys. Rev. E. 79, 021104 (2009).

2次元一様系では、熱力学極限においてBose-Einstein凝縮（BEC）が有限温度下で実現しない一方、Kosterlitz-Thouless（KT）転移点以下では有限の超流動密度を持つことが知られている。しかし、この系に調和トラップポテンシャルを付加すると有限温度下でもBECが安定に存在することが指摘されている。それゆえに、この系の有限温度での振る舞いについては明らかになっていない。近年、アルカリ原子気体の擬2次元Bose気体における有限温度の振る舞いに関して、理論、実験の両面から研究が盛んに行なわているが[1-3]、多くの未解決部分があるのが現状である。

我々は、有限温度のBose気体のダイナミクスを扱うProjected Gross-Pitaevskii方程式[4]を数値的に解くことで、調和トラップ中擬2次元 Bose気体の有限温度での振る舞いについて調べた。図1は、178[nK]におけるz＝0で2次元スライスしたある瞬時の密度と位相である。この結果から、中心付近では位相がコヒーレントな領域が存在し、端付近ではvortexとantivortex の熱励起が観測された。この系における超流動出現について調べるために、系を回転させて慣性モーメントの温度依存性を測定した。

その結果、超流動密度はある温度T_rot^*を境に、温度低下とともに徐々に増加することがわかった。さらに、系のコヒーレント性を見るために、様々な温度に対して位相相関関数の距離依存性を調べた。その結果、T_rot^* 近傍において距離の冪に近い減衰をし、その指数は1/4であることが観測された。また、様々な温度においてコヒーレンス領域の節近傍でも同様な振る舞いが観測された[5]。

（by 佐藤　年裕）

参考文献

[1] S. Stock, Z. Hadzibabic, B. Battelier, M. Cheneau and J. Dalibard, Phys. Rev. Lett. 95, 190403 (2005)
[2] P. Krüger, Z. Hadzibabic, and J. Dalibard, Phys. Rev. Lett. 99, 040402 (2007)
[3] T. P. Simula, M. J. Davis, and P. B. Blakie, Phys. Rev. A 77, 023618 (2008)
[4] M. J. Davis, R. J. Ballagh and K. Burnett, J. Phys. B 81, 4487 (2001)
[5] T. Sato, T. Suzuki and N. Kawashima: “Finite-temperature transition in a quasi-2D Bose gas trapped in the harmonic potential”, J. Phys.: Conf. Ser. 150 032094 (2009).

層状カルコゲナイド化合物NiGa2S4は，スピン \(S=1\) の三角格子を持つ反強磁性物質であることが知られている． 近年行われた中性子散乱実験の結果から，極低温において非整合なスピン配置をとることが明らかとなっており，このことはNiGa2S4において第三近接相互作用の存在を示唆している [1,2]．

我々はNiGa2S4の有限温度の性質を調べるため，強磁性的最近接相互作用 \(J_1\) および反強磁性的第三近接相互作用 \(J_3\) のある二次元三角格子古典ハイゼンベルクモデルの解析を行った． このモデルの基底状態は非整合なスピン配置をとり，格子空間の120度回転に対応する三重縮退が存在することが分かる．（図１の模式図は基底状態のスピン配置の一例である．）

相互作用比を \(J_3/J_1=-3\) にした場合の古典モンテカルロシミュレーションを行った結果，比熱に有限温度相転移の存在を示唆する発散的なピークが一つ現れ， 転移温度において，エネルギーヒストグラムにダブルピーク構造（図２）が現れることが分かった． 得られた計算結果をもとに解析を行った結果，この系は転移温度で三重縮退した基底状態のうち一つが選ばれ，有限温度において三回対称性の破れを伴った一次相転移が存在することが明らかになった [3]．

（by 田村亮）

[参考文献]

[1] S. Nakatsuji et al., Science 309, 1697 (2005).
[2] S. Nakatsuji et al.,  J.Phys: Condens. Matter 19, 145232 (2007).
[3] R. Tamura and N. Kawashima, J. Phys. Soc. Jpn. 77, 103002 (2008).