テンソルネットワーク法は，多体問題のための強力な数値計算手法として研究開発が進められている．テンソルくりこみ群 (Tensor Renormalization Group, TRG) [1] に代表される実空間のくりこみの方法は，粗視化によりテンソルネットワークの縮約を効率良く計算する近似手法である．テンソルの次元（ボンド次元）を大きくすることで近似の精度が向上する．しかしながら，TRGでは計算コストはボンド次元の6乗に比例して増大する．そのため，計算精度を損なわず計算量を削減する手法の開発が求められている．
本研究で我々は，乱択アルゴリズムによる特異値分解 (RSVD) [2] を用いたTRGの新しいアルゴリズムを提案し，TRGの計算コストをボンド次元の5乗に削減することに成功した [3]．TRGの主要な演算は「分解」と「縮約」であるが，どちらも計算量がボンド次元の6乗に比例する．RSVDによる分解の計算量削減だけでなく，4階のテンソルを明示的に生成しないことで縮約の計算量も同時に削減する点が提案手法の肝となっている．RSVDは乱数を用いるため統計誤差が含まれるが，オーバーサンプリング変数を増やすことで誤差を減らすことができる．我々は2次元Ising模型におけるベンチマークにより，オーバーサンプリング変数がボンド次元と同じ程度であれば全特異値を求める場合と同じ精度で自由エネルギーが計算できることを示した．
他のテンソルネットワーク法でも主要な演算は，TRGと同じく「分解」と「縮約」である．そのため，乱択アルゴリズムを用いた手法は，数多くのテンソルネットワーク法に応用されることが期待される．
References
- M. Levin and C. P. Nave, Phys. Rev. Lett. 99, 120601 (2007).
- N. Halko, P. G. Martinsson, and J. A. Tropp, SIAM Rev. 53, 217 (2011).
- S. Morita, R. Igarashi, H.-H. Zhao, and N. Kawashima, Phys. Rev. E 97, 033310 (2018).
